Башенное поселение Кост (Къаьсте) основано Хьошальгом из Хамхи. Къаост (Къаьсте) расположен на отроге хребта Такан-Дук (или Къаьсти-Дукъ). Поселение получило свое название от названия хребта Къаьсти-Дукъ (с инг. букв.: «Разделяющий хребет» – этот хребет разделяет два ущелья). Род Костоевых включает в себя фамилий: Костоевы, Гастемировы, Успаевы, Марзагановы, Газгиреевы, Дударовы и др
Сегодня в нем сохраняются развалины боевой и восьми жилых башен с различными пристройками периода позднего средневековья.(17 век)
Закон РСФСР «О реабилитации репрессированных народов», принятый Верховным Советом РСФСР 26 апреля 1991 года, законодательно закрепил процесс восстановления исторической справедливости в отношении народов, подвергшихся в сталинскую эпоху геноциду, насильственному переселению и преследованию по национальным мотивам. Потребовалось чуть ли не полвека, чтобы на государственном уровне признать противозаконными и чудовищными все репрессивные акции, практиковавшиеся в отношении этих народов и их роковые последствия. Помню, что творилось в зале заседаний Верховного Совета РСФСР, когда закон был принят. Депутаты и гости обнимались, аплодировали, поздравляли друг друга. На глазах у многих были слезы радости. С облегчением вздохнули и мы, я и депутат Верховного Совета Ибрагим Юсупович Костоев, с которым в течение 8 месяцев мы разрабатывали концепцию и проект этого закона, доводили его до совершенства.
Хамхи – одно из крупнейших башенных поселений Горной Ингушетии замкового типа, расположено в центре Таргимской котловины на левом берегу р. Ассы (Рис. 1). В настоящее время Хамхи административно входит в состав Джейрахского района Республики Ингушетии. Вблизи него располагаются еще несколько башенных поселений, основанные выселенцами из Хамхи: Хайрах, Нижний Хайрах, Балкой-Ценге, Исмаилово; до 20-х гг. ХХ в. на месте расположения школы-интернета у пос. Хамхи располагалось поселение Каза-Ценге. Башни и другие памятники Хамхи изучали в разное время В.Ф. Миллер1, Л.П. Семенов2, И.П. Щеблыкин3, А.И. Робакидзе4, В.И. Марковин5, М.Б. Мужухоев6, Л.А. Перфильева7, Д.Ю. Чахкиев8 и другие. В Хамхи сохранились несколько десятков памятников, относящихся к различным периодам истории ингушского народа (со II тыс. до н.э. – до XIX в.). 
Некогда аул Кязи основал Эрзи, сын Жогастка. До этого Эрзи жил в замке Таргим. Как-то Эрзи пас овец и вздремнул. Тем временем овцы потравили чужой ячмень. Возмущенный хозяин поля бросился на Эрзи, началась драка и Эрзи убил его.
